循環しない小数で無理数であるうえに、
いかなる整数系の代数方程式をとってきても
その解とはなり得ない数。
例えばネイピア数 e=2.7182...
円周率 π=3.1415...
まだ数える程しか見つかっていないが、
無限個あるという。代数的数全体と自然数
全体は1:1対応を付けることが出来る。
実数全体の無限は連続体の濃度であるから
自然数の濃度より大きい。つまり代数的数全体より圧倒的に大きい、従って実数全体から
代数的数を取り去っても、まだ無限個の数
が残ることから超越数は無限個あり、殆んど
全ての実数は超越数である。
カントールのこの証明もまた、数学界に大きな衝撃を与えた。
